2.3 Interacties

In 2.2 heb ik beschreven dat vervormde eigenruimtes meer geschikt zijn om als agents dienst te doen dan simpele geometrische objecten. Vervormde eigenruimtes  zijn ondeelbaar, ruimtelijk en plastisch. Globaal gegenereerde structuren zijn per definitie een ruimte. “Vormen van ruimte” zijn natuurlijk architectonisch erg interessant.

frei-klein

Het grensvlak tussen een binnenruimte en de omliggende buitenruimte is plastisch. Het is als een dun vlies makkelijk vervormbaar, beweegbaar en rekbaar. Net zoals een zeepbel. Je zou daarom een agent als een zeepbel kunnen opvatten. Bekend is dat zeepbellen een vorm zoeken die energetisch optimaal is wat leidt tot een minimale kromming van het oppervlak. Dit wordt een minimaaloppervlak genoemd. Het clusteren van zeepbellen luistert ook naar deze fysische regel en heeft weerslag op de manier waarop zeepbellen met elkaar clusteren en afhankelijk van elkaar vervormen. Frei Otto heeft minimaaloppervlakten intensief bestudeerd.

IMG_2272

Het fysische spel werkt ook als meerdere zeepbellen clusteren. Drie zeepbellen staan bijvoorbeeld nooit in een rijtje. Zij vormen altijd hoeken van 120°. Vier of meer zeepbellen vormen ook bindingen met deze hoek. Hieronder zie je de opvallende overeenkomsten tussen zeepstructuren (wit) en clusters van cellen in verschillende stadia van de ontwikkeling van een embryo (gekleurd).

nature02952-f2.2

De analogie kunnen we doortrekken naar het ruimtelijk model. Als agents identiek zijn vormen zij – in het platte vlak en bij een maximale dichtheid – een regelmatige structuur van hexagonalen vormen.

honingraat

Een erg interessante optimale structuur, maar wel 2 dimensionaal. Het hexagonale grid kan namelijk niet verbogen worden in een 3 dimensionale vorm. Buckminster Fuller wist dit . Het is alleen mogelijk door hier en daar een paar pentagonen toe te voegen.

Coscinodiscus_excentricus

Bestaat er dan geen regelmatig object dat een optimale invulling vormt in een 3 dimensionaal vlak? Lord Kelvin sprak eind 19e eeuw zijn vermoeden uit dat  dit kan met een 14-vlakkig ruimtelijk object (een tetradecaëder, feitelijk een afgeknotte octaëder (later een Kelvin cel genoemd).

rv_invulling

Dit vermoeden bleek niet helemaal juist. In de jaren negentig van de vorige eeuw is bewezen dat er een nog efficiëntere ruimte invulling bestaat. Dit wordt de Weaire-Phelan structuur genoemd. De structuur bestaat echter uit 2 verschillende ruimtelijke objecten.

Urban Arches

Is de Kelvin cel of de Weaire-Phelan structuur bruikbaar als agent in ons ruimtelijke model? Tsja. Kelvin cellen maken een ietwat starre, repetitieve en saaie ruimtelijke structuur.

kelvincell_volume

 De Weaire-Phelan structuur is een stuk interessanter.

PTW_Arup

In de globale ruimte bevinden zich vaak meerdere agents maar niet zoveel dat de gehele ruimte wordt gevuld. Er bestaat ook lege ruimte. Schieten we ons doel dan niet voorbij?

In de theoretische biologie worden modellen gemaakt van cel migratie. Dit is een veelbelovend alternatief. Cellen kan je namelijk tot zekere hoogte vergelijken met zeepbellen:

  • cellen zijn bolvormig en vervormbaar
  •  de vorm van cellen wordt voor een groot deel bepaald  door de reductie van oppervlakte spanning en benadert een minimaal oppervlak
  • cellen bewegen / migreren
  • cellen leven in een heterogene omgeving met structuren met diverse eigenschappen
  • cellen interacteren

CPM van 2 celtypen

Deze modellen zijn Cellulaire Potts Modellen (CPM).  In dit artikel schrijven theoretisch biologen uit Utrecht over de eigenschappen van CPM modellen en de treffende gelijkenissen met werkelijke cellen, celmigratie en morfogenese. Hoe werkt een CPM?

Een CPM is een gridbased model waarin objecten als een groepje vierkantjes (pixels in een 2D vlak en voxels in een 3D ruimte) vertaalt zijn.

 CPM van 3 cellen (2 typen)

Zo’n groepje vierkantjes is een model voor een cel. Elk vierkantje hecht aan een andere vierkantje met een zekere affiniteit. Hoe groter de affiniteit hoe meer energie zich in deze binding bevindt. De affiniteit van bindingen in de groepje zelf is nul. Het volume van een cel heeft een zekere gewenste grootte. Als het huidige volume kleiner is dan het gewenste formaat dan bevat deze cel (potentiële) energie. Het CPM zoekt naar een toestand waarbij de energietoestand van hele systeem minimaal is. In ingewikkelde modellen volstaat het om ergens een pixel van een bepaalde cel (cel 1) te nemen en van één van de buurpixels (een lege ruimte of cel 2) te bepalen of het energetisch optimaler is om zijn toestand te veranderen in cel 1 of niet. Als een verandering optimaler is dan zet het model de verandering door en zo niet dan blijft de situatie zoals het was. Hierna neemt het model een volgende pixel. Dit klinkt misschien vergezocht. Maar als je het model veel pixels en snel achter elkaar laat uitrekenen, ontstaat er een globale ruimte waarin je de groepjes vierkantjes als virtuele cellen ziet clusteren en voortbewegen. Interessant is ook dat je het model zodanig kan uitvragen dat je de wandeling van een cel langs andere cellen kan zien vanuit het perspectief van deze ene cel. Dit lijkt erg op een simulatie van een wandeling door een 3d ruimte.

Het is nu niet moeilijk om een individuele binnenruimte te zien als een groepje voxels dat zich ergens in een globale ruimte bevindt. Als een binnenruimte een andere tegenkomt, ontstaat afhankelijk van de ingestelde affiniteiten een bepaalde dynamiek: binnenruimten kunnen clusteren, elkaar afstoten of iets daar tussen in.

Conclusie: De agents (individuele binnenruimten) kunnen zoals zeepbellen. De structuren zijn energetisch optimaal en de regels relatief eenvoudig. Als een globale ruimte compleet gevuld zou zijn dan kunnen agents geabstraheerd worden in de vorm van Kelvin cellen of een Weaire Phelan structuur, waarbij de laatste het meest interessant is. We constateren echter dat de globale ruimte uit lege ruimte bestaat en uit diverse soorten agents. Dit kan goed worden gemodelleerd met hulp van een Cellular Potts Model van biologische cellen. De onderlinge affiniteiten bepalen de dynamiek van het systeem.